Hằng đẳng thức kỷ niệm thể hiện cách thức và những ví dụ ví dụ, canh ty chúng ta học viên lớp 8 ôn tập luyện và gia tăng kiến thức và kỹ năng về dạng toán về những hằng đẳng thức kỷ niệm Toán lớp 8. Chúc chúng ta học hành hiệu quả!
A. a² + b² = ?
Vận dụng hằng đẳng thức:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Khi đó:
a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
hoặc
a2 + b2 = (a − b)2 + 2ab
B. Bài tập luyện ví dụ
Ví dụ 1: Tính a2 + b2 biết a + b = 5 và ab = 1
Hướng dẫn giải
Ta có: a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
= 52 – 2 . 1 = 25 – 2 = 23
Vậy a2 + b2 = 23 khi a + b = 5 và ab = 1
Ví dụ 2: Cho 2 . (a2 + b2) = (a + b)2. Chứng minh rằng a = b
Hướng dẫn giải
Ta có: 2 . (a2 + b2) = (a + b)2
2a2 + 2b2 = a2 + 2ab + b2
2a2 − a2 − 2ab + 2b2 − b2 = 0
a2 − 2ab + b2 = 0
(a − b)2 = 0
a − b = 0
a = b (điều cần triệu chứng minh)
Ví dụ 3: Chứng minh rằng 
với từng số dương a và b.
Hướng dẫn giải
Ta có:
a2 + b2 ≥ 2ab
a2 − 2ab + b2 ≥ 0
(a − b)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy với từng số dương a và b tớ luôn luôn sở hữu .
Ví dụ 4: Phân tích nhiều thức trở nên nhân tử nhiều thức a2 + b2 + 2a − 2b − 2ab.
Hướng dẫn giải
Ta có: a2 + b2 + 2a − 2b − 2ab
= (a2 − 2ab + b2) + (2a − 2b)
= (a − b)2 + 2(a − b)
= (a − b)(a − b + 2)
Vậy a2 + b2 + 2a − 2b − 2ab = (a − b)(a − b + 2)
Ví dụ 5: Cho a và b là nhì số bất kì. Chứng minh rằng: a2 + b2 + 9 ≥ ab − 3(a + b)
Hướng dẫn giải
Ta có: a2 + b2 + 9 ≥ ab − 3(a + b)
2a2 + 2b2 + 18 ≥ 2ab − 6(a + b) (Nhân nhì vế của bất phương trình với 2)
a2 + b2 − 2ab + a2 + 6a + 9 + b2 + 6b + 9 ≥ 0
(a − b)2 + (a + 3)2 + (b + 3)2 ≥ 0 (luôn trúng với từng độ quý hiếm a và b)
Vậy với những số a và b bất kì tớ luôn luôn sở hữu a2 + b2 + 9 ≥ ab − 3(a + b)
Ví dụ 6: Tìm những độ quý hiếm x và nó biết:
a) x2 − 2x + 5 + y2 – 4y = 0
b) 4x2 + y2 – 20x – 2y + 26 = 0
Hướng dẫn giải
a) x2 − 2x + 5 + y2 – 4y = 0
(x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 0
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 0
Do ê (x − 1)2 = 0 và (y – 2)2 = 0 (vì (x – 1)2 ≥ 0; (y – 2)2 ≥ 0 với từng x, y)
Suy rời khỏi x − 1 = 0 và nó − 2 = 0
Vậy x = 1; nó = 2
b) 4x2 + y2 – 20x – 2y + 26 = 0
(4x2 – 20x + 25) + (y2 – 2y + 1) = 0
(2x – 5)2 + (y – 1)2 = 0
(2x – 5)2 = 0 và (y – 1)2 = 0 (Vì (2x – 5)2 ≥ 0; (y – 1)2 ≥ 0 với từng x, y)
Vậy x = 5/2; nó = 1
Ví dụ 7: Chứng minh ko tồn bên trên x; nó thỏa mãn:
a) x2 + 4y2 + 4x – 4y + 10 = 0
b) 3x2 + y2 + 10x – 2xy + 29 = 0
c) 4x2 + 2y2 + 2y – 4xy + 5 = 0
Hướng dẫn giải
a) x2 + 4y2 + 4x – 4y + 10 = 0
x2 + 4x + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 5 = 0
(x + 2)2 + (2y – 1)2 + 5 = 0
Vì (x + 2)2 + (2y – 1)2 + 5 ≥ 5 > 0
Suy rời khỏi ko tồn bên trên x, nó thỏa mãn nhu cầu đề bài bác.
b) 3x2 + y2 + 10x – 2xy + 29 = 0
x2 – 2xy + y2 + 2x2 + 10x + 29 = 0
(x – y)2 + 2(x + 2,5)2 + 16,5 = 0
Do (x – y)2 + 2(x + 2,5)2 + 16,5 ≥ 16,5 > 0
Suy rời khỏi ko tồn bên trên x, nó thỏa mãn nhu cầu đề bài bác.
c) 4x2 + 2y2 + 2y – 4xy + 5 = 0
(4x2 – 4xy + y2) + (y2 + 2y + 1) + 4 = 0
(2x – y)2 + (y + 1)2 + 4 = 0
Do (2x – y)2 + (y + 1)2 + 4 ≥ 4 > 0
Suy rời khỏi ko tồn bên trên x, nó thỏa mãn nhu cầu đề bài bác.
C. Bài tập luyện tự động luyện
Viết những biểu thức sau bên dưới dạng tổng nhì bình phương.
a) x2 + 10x + 26 + y2 + 2y
Đáp số: (x + 5)2 + (y + 1)2
b) z2 − 6z + 13 + t2 + 4t
Đáp số: (z − 3)2 + (t + 2)2
c) x2 − 2xy + 2y2 + 2y + 1
Đáp số: (x − y)2 + (y + 1)2
d) 4x2 + 2z2 − 4xz − 2z + 1
Đáp số: (2x − z)2 + (z − 1)2
e) 4x2 − 12x − y2 + 2y + 8
Đáp số: (2x − 3)2 − (y − 1)2
f) 4x2 + 2z2 − 4zx − 2z + 1
Đáp số: (2x − z)2 + (z − 1)2
-------------------------------------------